Urdu Solution - Test No 9
Test No. 9 - تفصیلی حل
سوال 1: مختصر کریں \( \sqrt[4]{16x^4y^8} \)
مرحلہ 1: جزر (Radical) کی علامت ختم کر کے قوت نما (Exponential form) میں لکھیں:
\( (16x^4y^8)^{\frac{1}{4}} \)
مرحلہ 2: 16 کی تجزی کریں:
\( 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 \)
قیمت درج کریں:
\( (2^4 x^4 y^8)^{\frac{1}{4}} \)
مرحلہ 3: قوت کو اندر موجود ہر رقم پر لاگو کریں:
\( 2^{4 \times \frac{1}{4}} \cdot x^{4 \times \frac{1}{4}} \cdot y^{8 \times \frac{1}{4}} \)
مرحلہ 4: قوتوں کو مختصر کریں:
\( 2^1 \cdot x^1 \cdot y^2 \)
جواب: \( 2xy^2 \)
سوال 2: درج ذیل کو لوگارتھمی شکل میں لکھیں۔
اصول: قوت نمائی شکل سے لوگارتھمی شکل میں تبدیلی:
اگر \( a^x = y \) ہو، تو \( \log_a y = x \) ہو گا۔
(i) \( 16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)
یہاں اساس (Base) 16 ہے، قوت \( -\frac{1}{4} \) ہے، اور قیمت \( \frac{1}{2} \) ہے۔
\( \log_{16} (\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \)
(ii) \( p = q^r \)
اسے ترتیب سے لکھیں: \( q^r = p \)
یہاں اساس \( q \) ہے، قوت \( r \) ہے، اور قیمت \( p \) ہے۔
\( \log_q p = r \)
(iii) \( 11^2 = 121 \)
یہاں اساس 11 ہے، قوت 2 ہے، اور قیمت 121 ہے۔
\( \log_{11} 121 = 2 \)
سوال 3: درج ذیل سیٹس کا پاور سیٹ (Power Set) لکھیں۔
تعریف: کسی سیٹ کے تمام ممکنہ تحتی سیٹس (Subsets) کے سیٹ کو پاور سیٹ کہتے ہیں۔
(i) \( \{ \phi \} \)
اس سیٹ میں صرف ایک رکن ہے (جو کہ خالی سیٹ کی علامت ہے)۔
تحتی سیٹس کی تعداد = \( 2^1 = 2 \)
1. خالی سیٹ: \( \phi \)
2. سیٹ بذاتِ خود: \( \{ \phi \} \)
جواب: \( \{ \phi, \{ \phi \} \} \)
(ii) \( \{ \{a,b\}, \{b,c\}, \{d,e\} \} \)
فرض کریں سیٹ کے ارکان یہ ہیں:
\( x=\{a,b\}, \quad y=\{b,c\}, \quad z=\{d,e\} \)
تو سیٹ بن گیا: \( \{ x, y, z \} \)۔ اس کے کل \( 2^3 = 8 \) تحتی سیٹ بنیں گے۔
تحتی سیٹس:
1. \( \phi \)
2. \( \{x\}, \{y\}, \{z\} \)
3. \( \{x,y\}, \{x,z\}, \{y,z\} \)
4. \( \{x,y,z\} \)
اصل قیمتیں درج کرنے سے فائنل جواب:
\( P(A) = \Big\{ \phi, \)
\( \{ \{a,b\} \}, \{ \{b,c\} \}, \{ \{d,e\} \}, \)
\( \{ \{a,b\}, \{b,c\} \}, \{ \{a,b\}, \{d,e\} \}, \{ \{b,c\}, \{d,e\} \}, \)
\( \{ \{a,b\}, \{b,c\}, \{d,e\} \} \Big\} \)
سوال 4: تجزی کریں \( y^2 + 4y - 12 \)
سوال: \( y^2 + 4y - 12 \)
ہمیں ایسے دو اعداد چاہیے جنہیں:
ضرب دیں تو -12 آئے
جمع کریں تو +4 آئے
فیکٹرز:
\( 12 \times -1 = -12 \) (جمع = 11) ✖
\( 6 \times -2 = -12 \) (جمع = 4) ✔ (درست)
مرحلہ 1: درمیانی رقم کو توڑ کر لکھیں:
\( = y^2 + 6y - 2y - 12 \)
مرحلہ 2: جوڑے بنا کر مشترک لیں:
\( = y(y + 6) - 2(y + 6) \)
(نوٹ: جب -2 مشترک لیا تو 12 کی علامت تبدیل ہو کر +6 ہو گئی)
مرحلہ 3: اب \( (y+6) \) کو مشترک لیں:
\( = (y + 6)(y - 2) \)
جواب: \( (y + 6)(y - 2) \)