Urdu Solution - Test No 10
Test No. 10 - تفصیلی حل
سوال 1: مختصر کریں \( \sqrt[3]{27x^6y^9z^3} \)
مرحلہ 1: جزر المکعب (Cube root) کو قوت نمائی شکل میں لکھیں:
\( (27x^6y^9z^3)^{\frac{1}{3}} \)
مرحلہ 2: 27 کو 3 کی طاقت میں لکھیں (\( 27 = 3^3 \)):
\( (3^3 x^6 y^9 z^3)^{\frac{1}{3}} \)
مرحلہ 3: طاقت \( \frac{1}{3} \) کو اندر موجود ہر رقم پر لاگو کریں:
\( 3^{3 \times \frac{1}{3}} \cdot x^{6 \times \frac{1}{3}} \cdot y^{9 \times \frac{1}{3}} \cdot z^{3 \times \frac{1}{3}} \)
مرحلہ 4: قوتوں کو مختصر کریں:
\( 3^1 \cdot x^2 \cdot y^3 \cdot z^1 \)
جواب: \( 3x^2y^3z \)
سوال 2: درج ذیل کو قوت نمائی شکل میں لکھیں۔
اصول: اگر \( \log_a x = y \) ہو، تو \( a^y = x \) ہو گا۔
(اساس اپنی جگہ رہتی ہے، باقی دونوں جگہیں بدل لیتے ہیں)۔
(i) \( 5 = \log_{10} 100000 \)
اساس 10 ہے، اور قوت 5 ہے۔
\( 10^5 = 100000 \)
(ii) \( \frac{1}{2} = \log_9 3 \)
اساس 9 ہے، اور قوت \( \frac{1}{2} \) ہے۔
\( 9^{\frac{1}{2}} = 3 \)
(iii) \( \log_2 16 = 4 \)
اساس 2 ہے، اور قوت 4 ہے۔
\( 2^4 = 16 \)
سوال 3: اگر \( U=\{1 \dots 20\} \) اور \( A=\{1,3 \dots 19\} \) ہو تو ثابت کریں کہ \( A \cup A' = U \)۔
دیا گیا ہے:
\( U = \{1, 2, 3, \dots, 20\} \) (تمام اعداد)
\( A = \{1, 3, 5, \dots, 19\} \) (طاق اعداد)
مرحلہ 1: \( A' \) معلوم کریں
\( A' = U - A \) (وہ ارکان جو U میں ہوں مگر A میں نہ ہوں)۔
چونکہ A میں تمام طاق اعداد ہیں، اس لیے \( A' \) میں تمام جفت اعداد (Even numbers) ہوں گے۔
\( A' = \{2, 4, 6, \dots, 20\} \)
مرحلہ 2: \( A \cup A' \) معلوم کریں
یونین کا مطلب ہے دونوں سیٹس کے ارکان کو اکٹھا کرنا۔
\( \{1, 3, 5, \dots\} \cup \{2, 4, 6, \dots\} \)
جب ہم طاق اور جفت اعداد کو ملائیں گے تو ہمیں 1 سے 20 تک تمام اعداد حاصل ہوں گے۔
\( = \{1, 2, 3, 4, \dots, 20\} \)
نتیجہ:
چونکہ یہ جواب سیٹ U کے برابر ہے، لہذا ثابت ہوا:
\( A \cup A' = U \)
سوال 4: تجزی کریں \( x^2 - x - 2 \)
سوال: \( x^2 - x - 2 \)
ہمیں ایسے دو اعداد چاہیے جنہیں:
ضرب دیں تو -2 آئے
جمع کریں تو -1 آئے
فیکٹرز:
\( -2 \times 1 = -2 \) (درست)
\( -2 + 1 = -1 \) (درست)
مرحلہ 1: درمیانی رقم کو توڑ کر لکھیں:
\( = x^2 - 2x + 1x - 2 \)
مرحلہ 2: جوڑے بنا کر مشترک لیں:
\( = x(x - 2) + 1(x - 2) \)
مرحلہ 3: اب \( (x-2) \) کو مشترک لیں:
\( = (x - 2)(x + 1) \)
جواب: \( (x - 2)(x + 1) \)