Unit 1 — Real Numbers
یونٹ ٓ — حقیقی اعداد
Mathematics Grade 9 · PESRP · Key Notes (English & Urdu)
📘 Definition / تعریفیں
📐 Formulas / فارمولے
🔴 Remember / یاد رکھیں
🟡 Try Yourself / خود آزمائی
🟢 Did You Know / کیا آپ جانتے ہیں
🟣 Properties / خصوصیات
1.1
Real Numbers
حقیقی اعداد
Definition — تعریف
Real numbers \(R\) = Rational \(Q\) ∪ Irrational \(Q'\) — \(R = Q \cup Q'\)
حقیقی اعداد = ناطق اعداد ∪ غیر ناطق اعداد — \(R = Q \cup Q'\)
Rational numbers \(Q\): can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(p,q \in \mathbb{Z},\; q \neq 0\)
ناطق اعداد: \(\frac{p}{q}\) کی شکل میں لکھے جا سکتے ہیں جہاں \(q \neq 0\)
Irrational numbers \(Q'\): cannot be written as \(\frac{p}{q}\) — e.g. \(\sqrt{2},\, \pi,\, e\)
غیر ناطق اعداد: \(\frac{p}{q}\) میں نہیں لکھے جا سکتے — مثلاں \(\sqrt{2},\, \pi,\, e\)
Number Tree — اعداد کا شجرہ
► Real Numbers = Rational + Irrational
► حقیقی اعداد = ناطق + غیر ناطق اعداد
► Rational = Terminating + Non-terminating recurring decimals
► ناطق اعداد = مختتم کسور اعشاریہ + غیر مختتم متوالی کسر اعشاریہ
► Irrational = Non-terminating, non-recurring decimals
► غیر ناطق اعداد = غیر مختتم اور غیر متوالی کسر اعشاریہ
1.1.1
Combination of Rational & Irrational Numbers
ناطق اور غیر ناطق اعداد کا امتزاج
🔴 Remember — یاد رکھیں
► Rational + Irrational = Irrational
► ناطق + غیر ناطق = غیر ناطق عدد
► Rational (≠0) × Irrational = Irrational
► ناطق (غیر صفر) × غیر ناطق = غیر ناطق عدد
1.1.2
Decimal Representation of Rational Numbers
ناطق اعداد کا اعشاری اظہار
Types of Decimal — اعشاریہ کی اقسام
(i) Terminating Decimal — ends after finite digits — e.g. \(0.25,\; 0.375\)
(i) مختتم کسور اعشاریہ — محدود ہندسوں کے بعد ختم — مثلاں \(0.25,\; 0.375\)
(ii) Non-Terminating & Recurring — repeat infinitely in a pattern — e.g. \(0.\overline{3},\; 0.1\overline{6}\)
(ii) غیر مختتم اور متوالی — لا متناہی تکرار — مثلاں \(0.\overline{3},\; 0.1\overline{6}\)
Both (i) and (ii) are Rational Numbers
دونوں (i) اور (ii) ناطق اعداد ہیں
1.1.3
Decimal Representation of Irrational Numbers
غیر ناطق اعداد کا اعشاری اظہار
Definition — تعریف
Non-Terminating & Non-Recurring — never end, never repeat — \(\pi = 3.14159...\) \(e = 2.71828...\) \(\sqrt{2} = 1.41421...\)
غیر مختتم اور غیر متوالی — نہ ختم نہ تکرار — مثلاں \(\pi,\; e,\; \sqrt{2}\)
🟢 Did You Know — کیا آپ جانتے ہیں?
\(e = 2.7182...\) is called Euler's number
\(e = 2.7182...\) کو آئلر (Euler's) کا عدد کہا جاتا ہے
1.1.4
Representation on Number Line
عددی خط پر اظہار
🔴 Remember — یاد رکھیں
► Every point on number line is either rational or irrational
► عددی خط پر ہر نقطہ یا تو ناطق یا غیر ناطق عدد ہے
► \(\sqrt{n}\) is plotted on number line using Pythagorean theorem
► \(\sqrt{n}\) کو فیثاغورث مسئلہ استعمال کر کے عددی خط پر ظاہر کیا جاتا ہے
1.1.5
Properties of Real Numbers
حقیقی اعداد کی خصوصیات
🟣 Additive Properties — جمعی خصوصیات
| English Name | خاصیت / Urdu Name | Formula | مثال |
|---|---|---|---|
| Closure | خاصیت بندش | \(a+b \in R\) | \(2+3=5 \in R\) |
| Commutative | خاصیت مبادلہ | \(a+b=b+a\) | \(2+5=5+2\) |
| Associative | خاصیت تلازم | \(a+(b+c)=(a+b)+c\) | \(2+(3+5)=(2+3)+5\) |
| Additive Identity | جمعی ذاتی عنصر | \(a+0=0+a=a\) | \(5+0=5\) |
| Additive Inverse | جمعی معکوس | \(a+(-a)=0\) | \(6+(-6)=0\) |
🟣 Multiplicative Properties — ضربی خصوصیات
| English Name | خاصیت / Urdu Name | Formula | مثال |
|---|---|---|---|
| Closure | خاصیت بندش | \(ab \in R\) | \(2\times5=10 \in R\) |
| Commutative | خاصیت مبادلہ | \(ab=ba\) | \(2\times3=3\times2\) |
| Associative | خاصیت تلازم | \(a(bc)=(ab)c\) | \(2\times(3\times5)=(2\times3)\times5\) |
| Multiplicative Identity | ضربی ذاتی عنصر | \(a\times1=1\times a=a\) | \(5\times1=5\) |
| Multiplicative Inverse | ضربی معکوس | \(a\times\frac{1}{a}=1 \quad (a\neq0)\) | \(7\times\frac{1}{7}=1\) |
🟣 Distributive Properties — تقسیمی خصوصیات
\(a(b+c)=ab+ac\)ضرب کی بائیں خاصیت تقسیمی بلحاظ جمع
\(a(b-c)=ab-ac\)ضرب کی بائیں خاصیت تقسیمی بلحاظ تفریق
\((a+b)c=ac+bc\)ضرب کی دائیں خاصیت تقسیمی بلحاظ جمع
\((a-b)c=ac-bc\)ضرب کی دائیں خاصیت تقسیمی بلحاظ تفریق
🔴 Remember — یاد رکھیں
\(0 \in R\) — \(0\) has no multiplicative inverse (division by zero is undefined)
\(0\) کا کوئی ضربی معکوس نہیں ہوتا
🟣 Properties of Equality — برابری کی خصوصیات
| English Name | خاصیت / Urdu Name | Formula |
|---|---|---|
| Reflexive | خاصیت عکسی | \(\forall a \in R,\; a=a\) |
| Symmetric | خاصیت تشاکل | \(a=b \Rightarrow b=a\) |
| Transitive | خاصیت متعدیت | \(a=b \wedge b=c \Rightarrow a=c\) |
| Additive Property | جمعی خاصیت | \(a=b \Rightarrow a+c=b+c\) |
| Multiplicative Property | ضربی خاصیت | \(a=b \Rightarrow ac=bc\) |
| Cancellation (Addition) | تنسیخی خاصیت بلحاظ جمع | \(a+c=b+c \Rightarrow a=b\) |
| Cancellation (Multiplication) | تنسیخی خاصیت بلحاظ ضرب | \(c\neq0,\; ac=bc \Rightarrow a=b\) |
🟣 Order Properties — تابربری کی خصوصیات
| English Name | خاصیت / Urdu Name | Rule |
|---|---|---|
| Trichotomy | ثلاثی خاصیت | \(a < b\) or \(a = b\) or \(a > b\) |
| Transitive | خاصیت متعدیت | \(a>b \wedge b>c \Rightarrow a>c\) |
| Additive | جمعی خاصیت | \(a>b \Rightarrow a+c>b+c\) |
| Multiplicative (c>0) | ضربی خاصیت \((c>0)\) | \(a>b,\; c>0 \Rightarrow ac>bc\) |
| Multiplicative (c<0) — sign reverses | ضربی خاصیت \((c<0)\) — علامت بدلتی ہے | \(a>b,\; c<0 \Rightarrow ac<bc\) |
🟢 Did You Know — کیا آپ جانتے ہیں?
\(0\) and \(1\) are the additive and multiplicative identity elements of all real numbers
\(0\) اور \(1\) بالترتیب حقیقی اعداد کے جمعی اور ضربی ذاتی عناصر ہیں
1.2
Radical Expressions
جذری جملے
Definition — تعریف
If \(n\) is a positive integer (>1) and \(a\) is real, then \(x = \sqrt[n]{a}\) means \(x^n = a\) — \(x\) is the \(n^{th}\) root of \(a\)
اگر \(n\) صحیح مثبت عدد ہو \((n>1)\) اور \(a\) حقیقی عدد ہو تو \(\sqrt[n]{a} = x\) کا مطلب ہے \(x^n = a\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\) = radical sign \(n\) = index \(a\) = radicand Connection: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
جذر کی علامت = \(\sqrt{\phantom{x}}\) قوت نما = \(n\) ماتحت جذر = \(a\) تعلق: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
1.2.1
Laws of Radicals and Indices
جذر اور قوت نما کے قوانیں
📐 Laws of Indices — قوت نما کے قوانیں
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)ایک بنیاد — اشاریے جمع
\((a^m)^n = a^{mn}\)قوت کی قوت — اشاریے ضرب
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)تقسیم — اشاریے گھٹائیں
\((ab)^n = a^n b^n\)حاصل ضرب پر قوت
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)کسر پر قوت
\(a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\)صفر کی قوت = ایک
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)منفی اشاریہ — کسر الٹ دیں
\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\)کسری اشاریہ = جذر
📐 Laws of Radicals — جذر کے قوانیں
\(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)ضرب کا جذر
\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)تقسیم کا جذر
\(\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m\)قوت کا جذر
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a\)جذر اور قوت معکوس ہیں
1.2.2
Surds and their Applications
مقادیر اصم اور ان کا اطلاق
Definition — تعریف
A surd is an irrational radical \(\sqrt[n]{a}\) where the radicand \(a\) is rational — e.g. \(\sqrt{5},\; \sqrt{7},\; \sqrt[3]{2}\)
مقادیر اصم: غیر ناطق جذر \(\sqrt[n]{a}\) جہاں ماتحت جذر ناطق ہو — مثلاں \(\sqrt{5},\; \sqrt{7}\)
Types of Surds — مقادیر اصم کی اقسام
► (i) Monomial Surd — contains a single term — e.g. \(\sqrt{5},\;\sqrt{7}\)
► (i) یک جملہ مقادیر اصم — ایک ہی رقم پر مشتمل — مثلاں \(\sqrt{5},\;\sqrt{7}\)
► (ii) Binomial Surd — sum of two monomial surds — e.g. \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)
► (ii) دو جملہ مقادیر اصم — دو یک جملہ کا مجموعہ — مثلاں \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)
► (iii) Conjugate Surds — \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) and \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) are conjugates of each other
► (iii) کانجوگیٹ مقادیر اصم — \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) اور \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) ایک دوسرے کے کانجوگیٹ ہیں
🔴 Remember — یاد رکھیں
► Every surd is irrational — but NOT every irrational is a surd
► ہر مقادیر اصم غیر ناطق ہے — لیکن ہر غیر ناطق مقادیر اصم نہیں
► e.g. \(\sqrt{\pi}\) and \(\sqrt{e}\) are NOT surds (radicand is irrational)
► مثلاں \(\sqrt{\pi}\) اور \(\sqrt{e}\) مقادیر اصم نہیں ہیں (ماتحت جذر غیر ناطق ہے)
► Product of two conjugate surds is always rational — \((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)
► دو کانجوگیٹ مقادیر اصم کا حاصل ضرب ہمیشہ ناطق عدد ہوتا ہے
1.2.3
Rationalization of Denominator
مخرج کو ناطق بنانا
Definition — تعریف
To rationalize a denominator of the form \(a+b\sqrt{x}\) or \(a-b\sqrt{x}\) — multiply numerator and denominator by the conjugate factor
کسی مخرج جو \(a+b\sqrt{x}\) یا \(a-b\sqrt{x}\) کی شکل میں ہو ناطق بنانے کے لیے — اوپر نیچے دونوں کو کانجوگیٹ سے ضرب دیتے ہیں
📐 Key Identity — کلیدی فارمولے
\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)فرق مربعیں — کانجوگیٹ ضرب
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b\)جذور کا کانجوگیٹ — ناطق نتیجہ
🟡 Try Yourself — خود آزمائی
Q: What will be the product of two irrational numbers? Will it always be irrational?
سوال: دو غیر ناطق اعداد کا حاصل ضرب کیا ہوگا؟ کیا ہمیشہ غیر ناطق ہوتا ہے؟
Answer: Not necessarily — the product of two irrational numbers can be rational or irrational depending on the numbers.
جواب: ضروری نہیں — دو غیر ناطق اعداد کا حاصل ضرب ناطق یا غیر ناطق دونوں ہو سکتا ہے؟
Case 1 — Product is Rational:
\(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) ✔ (rational)
\(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\) ✔ (rational)
\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\) ✔ (rational)
When a surd is multiplied by itself, the result is always rational.
\(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) ✔ (rational)
\(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\) ✔ (rational)
\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\) ✔ (rational)
When a surd is multiplied by itself, the result is always rational.
صورت ہشتم — حاصل ضرب ناطق:
\(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) (ناطق)
\(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\) (ناطق)
جب مقادیر اصم خود سے ضرب ہو تو نتیجہ ہمیشہ ناطق ہوتا ہےؒ
\(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) (ناطق)
\(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\) (ناطق)
جب مقادیر اصم خود سے ضرب ہو تو نتیجہ ہمیشہ ناطق ہوتا ہےؒ
Case 2 — Product is Irrational:
\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\) ✘ (irrational)
\(\sqrt{5} \times \sqrt{7} = \sqrt{35}\) ✘ (irrational)
When different surds are multiplied, the result is generally irrational.
\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\) ✘ (irrational)
\(\sqrt{5} \times \sqrt{7} = \sqrt{35}\) ✘ (irrational)
When different surds are multiplied, the result is generally irrational.
صورت دوم — حاصل ضرب غیر ناطق:
\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\) (غیر ناطق)
\(\sqrt{5} \times \sqrt{7} = \sqrt{35}\) (غیر ناطق)
جب مختلف مقادیر اصم ضرب ہوں تو نتیجہ عموماں غیر ناطق ہوتا ہےؒ
\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\) (غیر ناطق)
\(\sqrt{5} \times \sqrt{7} = \sqrt{35}\) (غیر ناطق)
جب مختلف مقادیر اصم ضرب ہوں تو نتیجہ عموماں غیر ناطق ہوتا ہےؒ
Conclusion: The product of two irrational numbers is NOT always irrational. It can be rational (when conjugates or same surds are multiplied).
نتیجہ: دو غیر ناطق اعداد کا حاصل ضرب ہمیشہ غیر ناطق نہیں ہوتا، بعض اوقات ناطق بھی آ سکتا ہے
1.3
Application of Real Numbers in Daily Life
روز مرہ زندگی میں حقیقی اعداد کا اطلاق
Key Points — اہم نکات
► Real numbers are used daily in arithmetic, measurement, banking and engineering
► حقیقی اعداد روز مرہ زندگی میں جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے لیے استعمال ہوتے ہیں
► \(\pi\) is used in circle: circumference \(C=2\pi r\) and area \(A=\pi r^2\)
► \(\pi\) دائرے کے محیط \(C=2\pi r\) اور رقبے \(A=\pi r^2\) میں استعمال ہوتا ہے
► \(\sqrt{2}\) appears in diagonal of square: \(d = \sqrt{2} \times \text{side}\)
► \(\sqrt{2}\) مربع کے قطر میں آتا ہے: \(d = \sqrt{2} \times \text{ضلع}\)
★
Quick Summary — Key Formulas at a Glance
فوری خلاصہ — اہم فارمولے
📐 All Laws — تمام قوانیں
| Formula | اردو یاددہانی |
|---|---|
| \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | ایک بنیاد — اشاریے جمع کریں |
| \((a^m)^n = a^{mn}\) | قوت کی قوت — اشاریے ضرب کریں |
| \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | تقسیم — اشاریے گھٹائیں |
| \((ab)^n = a^n b^n\) | حاصل ضرب پر قوت تقسیم ہوتی ہے |
| \(a^0 = 1\) | صفر کی قوت = ایک |
| \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | منفی اشاریہ — کسر الٹ دیں |
| \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\) | جذر = کسری اشاریہ |
| \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) | ضرب کا جذر |
| \((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\) | کانجوگیٹ مقادیر اصم کا حاصل ضرب |
🔴 Final Reminders — آخری یاد دہانی
► \(R = Q \cup Q'\) — Rational and Irrational together form Real Numbers
► \(R = Q \cup Q'\) — ناطق اور غیر ناطق مل کر حقیقی اعداد بناتے ہیں
► Terminating or recurring decimal = Rational number
► مختتم یا غیر مختتم متوالی اعشاریہ = ناطق عدد
► Non-terminating non-recurring decimal = Irrational number
► غیر مختتم اور غیر متوالی اعشاریہ = غیر ناطق عدد
► Every surd is irrational — not vice versa
► ہر مقادیر اصم غیر ناطق ہے — لیکن ہر غیر ناطق مقادیر اصم نہیں
► Product of conjugate surds is always rational
► دو کانجوگیٹ مقادیر اصم کا حاصل ضرب ہمیشہ ناطق ہوتا ہے
► \(0\) has no multiplicative inverse (division by zero undefined)
► \(0\) کا ضربی معکوس نہیں ہوتا (صفر سے تقسیم غیر معرف)
یونٹ ٓ — حقیقی اعداد · ریاضی جماعت نہم · PESRP
No comments:
Post a Comment